Відповіді на всі випадки життя прямо на цьому сайті

Як брати похідну в математичному аналізі

Кроки

  • Take Derivatives in Calculus Step 1.jpg 1 Ознайомтеся з формою позначення похідної. Наступні дві форми позначення є найбільш поширеними, однак на Вікіпедії можна знайти величезну кількість інших here.
    • Позначення Лейбніца. Це позначення є найбільш поширеним у випадках, коли функція включає y та x. dy/dx буквально означає "похідна y відносно x." Зручно уявити похідну у вигляді відношення нескінченно малих різниць ?y/?x. Це пояснення є наслідком визначення похідної через межа: limh->0 (f(x h)-f(x))/h. Використовуючи дане позначення для другої похідної, ви повинні написати: d2y/dx2.
    • Позначення Лагранжа. Похідну функції можна також записати як f'(x). Це позначення читається як "f штрих від x". Це позначення коротше позначення Лейбніца, воно корисне при розгляді похідної функції. Щоб утворити похідні вищих порядків, просто додайте до "f" нові "' ". Так, друга похідна буде мати вигляд f"(x).
  • Take Derivatives in Calculus Step 2.jpg 2 З'ясуйте, що таке похідна і навіщо вона потрібна. По-перше, для знаходження нахилу прямої залежності, беруться дві точки на прямій, і їх координати підставляються в рівняння (y2 - y1)/(x2 - x1). Тим не менш, це може бути використано тільки для лінійних залежностей. Для квадратичних залежностей і вище лінія крива, тому визначення "різниці" двох точок не може бути точним. Щоб знайти нахил дотичної до криволінійному графіком, беруться дві точки, які підставляються у стандартне рівняння визначення нахилу дотичної до кривої: [f(x dx) - f(x)]/dx. Dx означає "delta x," що є різницею між двома x-координатами графіка. Зверніть увагу, що цей вираз аналогічно (y2 - y1)/(x2 - x1), просто в іншій формі. Оскільки вже відомо, що результат не буде точним, застосовується непрямий підхід. Щоб знайти нахил дотичної в точці (x, f(x)), dx повинно прагнути до 0, так що дві вибрані точки зіллються в одну. Втім, ми не можемо ділити на 0, тому, підставивши ці значення координат точки, ви повинні будете розкласти вираз на множники і використовувати інші методи для скорочення dx в нижній частині виразу. Зробивши це, прийміть dx = 0 і вирішите рівняння. Це і буде кутом нахилу в точці (x, f(x)). Похідна вирази - це загальний вираз для знаходження нахилу будь-якої дотичної до графіка. Це може здаватися надзвичайно складним, але кілька прикладів, наведених нижче, допоможуть вам зрозуміти процес знаходження похідної.
  • Метод 1 з 4: Диференціювання неявних функцій

  • Take Derivatives in Calculus Step 3.jpg 1 Використовуйте диференціювання неявних функцій, коли ваш вислів вже має y, розташований в одній його частині.
  • Take Derivatives in Calculus Step 4.jpg 2 Підставте вираз, вираз [f(x dx) - f(x)]/dx. Наприклад, якщо ваше рівняння має вигляд y = x2, похідна буде мати вигляд [(x dx)2 - x2]/dx.
  • Take Derivatives in Calculus Step 5.jpg 3 Розкрийте дужки, а потім винесіть dx за дужки, отримавши рівняння [dx(2x dx)]/dx. Тепер ви можете скоротити два dx у верхній і нижній частинах дробу. В результаті ви отримаєте 2x dx, і коли dx прагне до 0, то похідна дорівнює 2x. Це означає, що нахил будь-якої дотичної до графіка y = x2 дорівнює 2x. Просто підставте значення x точки, в якій ви хочете знайти нахил.
  • Take Derivatives in Calculus Step 6.jpg 4 Вивчіть схеми знаходження похідної функції подібного типу. Нижче наведено кілька з них.
    • Похідна степеневої функції дорівнює добутку показника степеня і підстави до ступеня на одиницю менше. Наприклад, похідна x5 дорівнює 5x4, а похідна x3.5 дорівнює 3.5x2.5. Якщо перед x вже є число, просто помножте його на ступінь. Наприклад, похідна 3x4 дорівнює 12x3.
    • Похідна будь-якого числа дорівнює 0. Інакше кажучи, похідна 8 дорівнює 0.
    • Похідна суми - це сума окремих похідних. Наприклад, похідна x3 3x2 дорівнює 3x2 6x.
    • Похідна добутку - це твір першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого. Наприклад, похідна x3(2x 1) дорівнює x3(2) (2x 1)3x2, що дорівнює 8x3 3x2.
    • Похідна дробу (скажімо, f/g) - це [g(похідна f) - f(похідна g)]/g2. Наприклад, похідна (x2 2x - 21)/(x - 3) дорівнює (x2 - 6x 15)/(x - 3)2.
  • Метод 2 з 4: Диференціювання неявних функцій

  • Take Derivatives in Calculus Step 7.jpg 1 Використовуйте диференціювання неявно виражених функцій, коли у вашому вираженні можна виділити y на одній із сторін. Навіть якщо ви змогли записати його з y в одній частині, обчислення dy/dx буде громіздким. Нижче наведені приклади знаходження похідної для виразів такого типу.
  • Take Derivatives in Calculus Step 8.jpg 2 У цьому прикладі: x2y 2y3 = 3x 2y, замініть y на f(x), щоб запам'ятати, що y насправді - функція. Вираз прийме вигляд x2f(x) 2[f(x)]3 = 3x 2f(x).
  • Take Derivatives in Calculus Step 9.jpg 3 Щоб знайти похідну цього виразу, продифференцируйте (розумне слово, що означає знайти похідну) обидві сторони рівняння по x. Вираз стане x2f'(x) 2xf(x) 6[f(x)]2f'(x) = 3 2f'(x).
  • Take Derivatives in Calculus Step 10.jpg 4 Знову замініть f(x) на y. Будьте уважні і не зробіть те ж саме для f'(x), що відрізняється від f(x).
  • Take Derivatives in Calculus Step 11.jpg 5 Знайдіть f'(x). Відповідь на це приклад приймає вигляд (3 - 2xy)/(x2 6y2 - 2).
  • Метод 3 з 4: Похідні вищого порядку

  • Take Derivatives in Calculus Step 12.jpg 1 Взяти похідну вищого порядку функції означає взяти похідну похідної (у разі порядку, рівного 2). Наприклад, якщо вас просять взяти похідну третього порядку, просто візьміть похідну добутку похідної. Для деяких виразів, похідні вищих порядків приймає нульове значення.
  • Метод 4 з 4: Правило ланцюжка

  • Take Derivatives in Calculus Step 13.jpg 1 Якщо y - це диференційована функція z, а z - диференційована функція x, y - це складна функція x, а похідна y по x (dy/dx) дорівнює (dy/du)*(du/dx). Правило ланцюжка також відноситься до складних статечним виразів, наприклад: (2x4 - x)3. Щоб знайти похідну, просто застосувати правило твору. Помножте вираз на ступінь і зменшіть ступінь на одиницю. Потім помножте вираз на похідну підстави (у нашому випадку воно дорівнює 2x^4 - x). Відповідь на це приклад виглядає так: 3(2x 4 - x)2(8x3 - 1).
  • Поради

    • Коли ви бачите, що вам потрібно вирішити просто величезний приклад - не хвилюйтеся. Розбийте його на якомога більше дрібних шматків, застосовуючи правила добутку, дробу і т. д. Після цього приступайте до диференціювання окремих частин.
    • Потренуйтеся використовувати правила добутку, дробу, ланцюжків і в особливості - диференціювання функцій в неявній формі, оскільки вони є дуже складною частиною матаналізу.
    • Умійте користуватися калькулятором; пробуйте використовувати різні функції вашого калькулятора, щоб дізнатися його можливості. Особливо корисно знати функції дотичній і похідної, якщо вони є у вашому калькуляторі.
    • Запам'ятайте похідні основних тригонометричних функцій і те, як з ними поводитися.

    Попередження

    • Не забудьте, що при використанні правила дробу перед f(похідна g) ставиться знак мінус; це поширена помилка і забувши його, ви отримаєте неправильну відповідь.


    Додати коментар
    Ваше ім'я:  
    Напівжирний Нахилений текст Підкреслений текст Перекреслений текст | Вирівнювання по лівому краю По центру Вирівнювання по правому краю | Вставка смайликів Вибір кольору | Прихований текст Вставка цитати Перетворити вибраний текст з транслітерації в кирилицю Вставка спойлера

    2+2*2=?