Відповіді на всі випадки життя прямо на цьому сайті

Як віднімати і додавати вектори

Кроки

Метод 1 з 3: Додавання і віднімання векторів з відомими компонентами

  • Add or Subtract Vectors Step 1.jpg 1 Так як вектори мають величину і напрямок, то їх можна розкласти на компоненти, грунтуючись на розмірностях х, у і/або z. Вони, як правило, позначаються так само, як точки в системі координат (наприклад, ). Якщо компоненти відомі, то скласти/відняти вектори так само просто, як скласти/вирахувати координати x, y, z.
    • Зверніть увагу, що вектори можуть бути одномірними, двовимірними або тривимірними. Таким чином, вектори можуть мати компонент «х», або компоненти «х» та «у», або компоненти «х», «у», «z». Нижче розглядаються просторові вектори, але процес аналогічний для одновимірних і двовимірних векторів.
    • Припустимо, що вам дано два тривимірних вектора - вектор і вектор B. Запишіть ці вектори у векторній формі: А =, B = , де a1 і а2 – компоненти «х», b1 і b2 - компоненти «у», c1 і c2 - компоненти «z».
  • Add or Subtract Vectors Step 2.jpg 2 Для додавання двох векторів складіть їх відповідні компоненти. Іншими словами, складіть компонент «х» першого вектора з компонентом «х» другого вектора (і так далі). В результаті ви отримаєте компоненти х, у, z результуючого вектора.
    • A B = .
    • Складемо вектори A і B. A = B = . A B = , або .
  • Add or Subtract Vectors Step 3.jpg 3 Для віднімання одного вектора з іншого необхідно відняти відповідні компоненти. Як буде показано нижче, віднімання можна замінити додаванням одного вектора і вектора, зворотного іншого, від іншого можна розглядати додавши його "зворотний". Якщо компоненти двох векторів відомі, відніміть відповідні компоненти одного вектора з компонентів іншого.
    • A-B =
    • Віднімемо вектори A і B. A = B = . A - B = , or .
  • Метод 2 з 3: Графічне додавання і віднімання

  • Add or Subtract Vectors Step 4.jpg 1 Так як вектори мають величину і напрямок, то у них є початок і кінець (початкова точка і кінцева точка, відстань між якими дорівнює значенню вектора). При графічному відображенні вектора він малюється у вигляді стрілки, у якій наконечник – кінець вектора, а протилежна точка – початок вектора.
    • При графічному відображенні векторів будуйте всі кути дуже точно; в протилежному випадку ви отримаєте неправильну відповідь.
  • Add or Subtract Vectors Step 5.jpg 2 Для додавання векторів намалюйте їх так, щоб кінець кожного попереднього вектора з'єднувався з початком наступного вектора. Якщо ви складаєте тільки два вектора, то це все, що вам потрібно зробити, перш ніж знайти результуючий вектор.
    • Зверніть увагу, що порядок з'єднання векторів не важливий, тобто вектор А вектор B = вектор B вектор А.
  • 3 Для вирахування вектора просто додайте зворотний вектор, тобто змінити напрямок вычитаемого вектора, а потім з'єднаєте його початок з кінцем іншого вектора. Іншими словами, щоб відняти вектор, поверніть його на 180 o (навколо точки початку) і складіть його з іншим вектором.
  • Add or Subtract Vectors Step 6.jpg 4 Якщо ви складаєте або віднімаєте наскільки (більше двох) векторів, то послідовно з'єднайте їх кінці і початку. Порядок, в якому ви з'єднуєте вектори, не має значення. Цей метод може бути використаний для будь-якого числа векторів.
  • Add or Subtract Vectors Step 7.jpg 5 Намалюйте новий вектор, починаючи від початку першого вектора і закінчуючи кінцем останнього вектора (при цьому число векторів складаються не важливо). Ви отримаєте результуючий вектор, рівний сумі всіх векторів складаються. Зверніть увагу, що цей вектор збігається з вектором, отриманим шляхом додавання компонентів «х», «у», «z» всіх векторів.
    • Якщо ви намалювали довжини векторів і кути між ними дуже точно, то ви можете знайти значення результуючого вектора, просто вимірявши його довжину. Крім того, ви можете виміряти кут (між результуючим вектором і іншим зазначеним вектором або горизонтальної/вертикальної прямими), щоб знайти напрям результуючого вектора.
    • Якщо ви намалювали довжини векторів і кути між ними дуже точно, то ви можете знайти значення результуючого вектора за допомогою тригонометрії, а саме теореми синусів або теореми косинусів. Якщо ви складаєте кілька векторів (більше двох), спочатку складіть два вектора, потім складіть результуючий вектор і третій вектор і так далі. Дивіться наступний розділ для отримання додаткової інформації.
  • Add or Subtract Vectors Step 8.jpg 6 Уявіть результуючий вектор, позначивши його значення і направлення. Як зазначалося вище, якщо ви намалювали довжини векторів складаються і кути між ними дуже точно, то значення результуючого вектора дорівнює його довжині, а напрям - це кут між ним і вертикальної або горизонтальної прямої. До значенню вектора не забудьте приписати одиниці виміру, в яких дано складні/віднімаються вектора.
    • Наприклад, якщо ви складаєте вектори швидкості, вимірювані в м/с, то до значення результуючого вектора припишіть «м/с», а також вкажіть кут результуючого вектора у форматі «o до горизонтальної прямої».
  • Метод 3 з 3: Додавання і віднімання векторів через знаходження значень їх компонентів

  • Add or Subtract Vectors Step 9.jpg 1 Щоб знайти значення компонентів векторів необхідно знати значення самих векторів і їх напрям (кут відносно горизонтальної або вертикальної прямої). Розглянемо двовимірний вектор. Зробіть його гіпотенузою прямокутного трикутника, тоді катетами (паралельними осям Х і Y) цього трикутника будуть компоненти вектора. Ці компоненти можна розглядати як сполучені два вектори, які при додаванні дають вихідний вектор.
    • Довжини (значення) двох компонентів (компонентів «х» та «у») вихідного вектора можуть бути обчислені за допомогою тригонометрії. Якщо «х» - це значення (модуль) вихідного вектора, то компонент вектора, прилеглий до кута вихідного вектора, що дорівнює xcos?, а компонент вектора, протилежні куті вихідного вектора, що дорівнює xsin?.
    • Важливо відзначити напрямок компонентів. Якщо компонент спрямований протилежно напрямку однієї з осей, то його значення буде негативним, наприклад, якщо на двовимірній площині координат компонент спрямований вліво або вниз.
    • Наприклад, дано вектор з модулем (значенням) 3 і напрямком 135 o (по відношенню до горизонталі). Тоді компонент «х» дорівнює 3cos 135 = -2,12, а компонент «в» дорівнює 3sin135 = 2,12.
  • Add or Subtract Vectors Step 10.jpg 2 Після того, як ви знайшли компоненти складаються всіх векторів, просто складіть їх значення і знайдете значення компонентів результуючого вектора. Спочатку складіть значення всіх горизонтальних компонентів (тобто компонентів, паралельних осі Х). Потім складіть значення всіх вертикальних компонентів (тобто компонентів, паралельних осі Y). Якщо значення компонента від'ємне, то воно віднімається, а не додається.
    • Наприклад, складемо вектор і вектор . Результуючий вектор буде таким або .
  • Add or Subtract Vectors Step 11.jpg 3 Обчисліть довжину (значення) результуючого вектора, використовуючи теорему Піфагора: c2=a2 b2 (так як трикутник, утворений вихідним вектором і його компонентами є прямокутним). У цьому випадку катетами є компоненти «х» та «у» результуючого вектора, а гіпотенузою – сам результуючий вектор.
    • Щоб знайти значення результуючого вектора, компоненти якого ви знайшли в попередньому кроці, використовуйте теорему Піфагора.
      • c2=(3,66)2 (-6,88)2
      • c2=13,40 47,33
      • c=v60,73 = 7,79
  • Add or Subtract Vectors Step 12.jpg 4 Щоб знайти напрям результуючого вектора, використовуйте формулу ?=tan-1(b/a), де ? – кут між вектором і горизонтальною віссю, b - значення компонента «у», а - значення компонента «х».
    • Знайдіть напрямок результуючого вектора з нашого прикладу.
      • ?=tan-1(-6,88/3,66)
      • ?=tan-1(-1,88)
      • ?=-61,99 o
  • Add or Subtract Vectors Step 13.jpg 5 Уявіть результуючий вектор, позначивши його значення і направлення. До значенню вектора не забудьте приписати одиниці виміру, в яких дано складні/віднімаються вектора.
    • Наприклад, якщо в нашому прикладі ви складали силу, що вимірюється в Ньютонах, то відповідь запишіть так: 7,79 Н під кутом -61,99 o (до горизонтальної осі).
  • Поради

    • Не плутайте з їхньої вектори модулями (значеннями).
    • Вектори, у яких один напрямок, можна додавати або віднімати, просто додавши або віднявши їх значення. Якщо складаються два протилежно спрямованих векторів, то їх значення віднімаються, а не складаються.
    • Вектори, які представлені у вигляді xi yj zk можна додати або відняти, просто додавши або віднявши відповідні коефіцієнти. Відповіді також запишіть у вигляді i,j,k.
    • Значення вектора у тривимірному просторі можна знайти за допомогою формули a2=b2 c2 d2, де a - значення вектора, b, c, і d – компоненти вектора.
    • Вектори-стовпці можна додавати/віднімати, склавши/віднявши відповідні значення в кожному рядку.


    Додати коментар
    Ваше ім'я:  
    Напівжирний Нахилений текст Підкреслений текст Перекреслений текст | Вирівнювання по лівому краю По центру Вирівнювання по правому краю | Вставка смайликів Вибір кольору | Прихований текст Вставка цитати Перетворити вибраний текст з транслітерації в кирилицю Вставка спойлера

    2+2*2=?